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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Algèbre linéaire > Réduction des endomorphismes >

Endomorphisme (ou matrice) trigonalisable

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie. Un endomorphisme $u$ de $E$ est trigonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure. Une matrice de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.

Le théorème suivant caractérise les endomorphismes trigonalisables.

Théorème : Soit $u$ un endomorphisme de $E$. Les assertions suivantes sont équivalentes :
  • $u$ est trigonalisable.
  • Son polynôme caractéristique est scindé.
  • Son polynôme minimal est scindé.
  • Il existe $P\in\mathbb K[X],$ $P\neq 0,$ scindé qui est annulateur pour $u.$
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