Treillis
Soit $(E,\leq)$ un ensemble ordonné. On dit que c'est un treillis (ou un lattis, ou un ensemble réticulé) si toute partie à deux éléments de $E$ admet une borne inférieure et une borne supérieure.
Exemples et contre-exemples :
- Tout ensemble totalement ordonné est un treillis
- $\mathcal P(X)$, muni de l'inclusion est un treillis : la borne supérieure est donnée par la réunion de deux ensembles, la borne inférieure par leur intersection.
- L'ensemble des sous-groupes d'un groupe donné, ordonné par l'inclusion, est un treillis : la borne inférieure de deux sous-groupes est donné par l'intersection, la borne supérieure par le sous-groupe engendré par ces deux sous-groupes.
- On considère l'ensemble $E$ des fonctions polynômiales
sur R, muni de l'ordre $f\leq g$ si pour tout
$t\in\mathbb R$, $f(t)\leq g(t)$. Alors un ensemble constitué
de deux polynômes n'admet pas en général de borne
supérieure dans $E$.
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