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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Algèbre linéaire > Espaces vectoriels >

Transvection

Soit $E$ un espace vectoriel, $H$ un hyperplan de $E$ et $D$ une droite vectorielle contenue dans $D$. On appelle transvection d'hyperplan $H$ et de droite $D$ toute application linéaire $\varphi\in\mathcal L(E)$ différente de l'identité telle que $\varphi_{|H}=H$ et $\textrm{Im}(\varphi-\textrm{Id}_E)=D.$ Cela revient à dire qu'il existe $a\in H\backslash\{0\}$ et $\ell\in E^*$ tels que $\ker(\ell)=H$ et $\varphi(x)=x+\ell(x)\cdot a$ pour tout $x\in E$.

Si $E$ est de dimension finie, si $(e_1,\dots,e_{n-1})$ est une base de $H$ avec $e_{n-1}=a$, et si $e_n\in E$ est tel que $\varphi(e_n)-e_n=a$, alors la matrice de $\varphi$ dans la base $(e_1,\dots,e_n)$ est $$\begin{pmatrix} 1&0&\dots&0\\ 0&\cdots&\cdots&\vdots\\ \vdots&\cdots&1&1\\ 0&\dots&0&1 \end{pmatrix}.$$ En permutant les vecteurs de la base, et en remplaçant $e_n$ par un multiple de $e_n$, on obtient toutes les matrices de transvection.

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