Matrices de transvection

On appelle matrice élémentaire de transvection toute matrice carrée de la forme $T_{i,j}(a)=I_n+aE_{i,j}$, avec $a\in \mathbb K$ et $i\neq j$, où $E_{i,j}$ est la matrice avec des zéros partout, sauf le terme situé à la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne qui vaut 1. On a donc :

Multiplier une matrice $A$ à gauche par la matrice $T_{i,j}(a)$ revient à ajouter $a$ fois la $j$-ème ligne à la $i$-ème ligne de $A.$ Multiplier une matrice $A$ à droite par une matrice de transvection $T_{i,j}(a)$ revient à ajouter $a$ fois la $i$-ème colonne à la $j$-ème colonne de $A$.

Autrement dit, toute matrice de déterminant 1 est produit d'un nombre fini de matrices de transvection.