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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Groupes > Groupe symétrique >

Transposition

Une transposition sur un ensemble est une permutation de cet ensemble qui échange deux éléments, et laisse tous les autres fixes. Par exemple, si $E$ est l'ensemble $\{1,2,3,4,5\}$ la transposition que l'on note $(2\ 3)$ est la bijection de $E$ qui à $1$ associe $1$, à $2$ associe $3$, à $3$ associe $2$, à $4$ associe $4$, à $5$ associe $5$.

Un résultat essentiel est que toute permutation d'un ensemble fini est produit de transpositions.

Théorème : Soit $n\geq 1$.
  • Les transpositions engendrent $S_n.$
  • Les transpositions $(1\ i)$ pour $2\leq i\leq n$ engendrent $S_n.$
  • Les transpositions $(i\ i+1)$ pour $1\leq i\leq n-1$ engendrent $S_n.$
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