Transformée en Z

La transformée en Z est l'analogue discret de la transformée de Laplace. Comme la transformée de Laplace peut servir à résoudre des équations différentielles, la transformée en Z permet de trouver la valeur de suites définies par une relation de récurrence. Plus généralement, elle a les mêmes applications pour les signaux à temps discret que la transformée de Laplace pour les signaux à temps continu.

En séparant la somme en deux, somme sur les entiers négatifs et somme sur les entiers positifs, on distingue deux séries entières, l'une en $z$ et l'autre en $1/z$. Le domaine de convergence de la transformée en Z est alors une couronne.

Souvent, on n'étudie la transformée en Z que pour des suites causales, c'est-à-dire des suites telles que $u_n=0$ lorsque $n<0$. La définition devient alors $$F(z)=Z(u_n)=\sum_{n=0}^{+\infty}u_n z^{-n}.$$ et le domaine de convergence est l'extérieur d'un disque.

Voici une table des transformées en Z usuelles. On ne considère que des suites causales. $$\begin{array}{c|c|c} \textrm{Suites}&\textrm{Transformée en $z$}&\textrm{Domaine de convergence}\\ &&\\ \hline &&\\ u_0=1&&\\ u_n=0\textrm{ si }n>0&1&\mathbb C\\ &&\\ \hline &&\\ u_0=k&&\\ u_n=0\textrm{ si }n\neq k&z^{-k}&\mathbb C^*\\ &&\\ \hline &&\\ 1&\displaystyle \frac{z}{z-1}&|z|>1\\ &&\\ \hline &&\\ n&\displaystyle \frac{z^2}{z-1}&|z|>1\\ &&\\ \hline &&\\ a^n&\displaystyle \frac{z}{z-a}&|z|>a\\ &&\\ \hline &&\\ na^n&\displaystyle \frac{az}{(z-a)^2}&|z|>a\\ &&\\ \hline &&\\ \cos(\omega n)&\displaystyle \frac{z^2-z\cos(\omega)}{z^2-2z\cos(\omega)+1}&|z|>1\\ &&\\ \hline&&\\ \sin(\omega n)&\displaystyle \frac{z\sin(\omega)}{z^2-2z\cos(\omega)+1}&|z|>1\\ &&\\ \hline &&\\ a^n\cos(\omega n)&\displaystyle \frac{z^2-az\cos(\omega)}{z^2-2az\cos(\omega)+a^2}&|z|>a\\ &&\\ \hline&&\\ a^n\sin(\omega n)&\displaystyle \frac{az\sin(\omega)}{z^2-2az\cos(\omega)+a^2}&|z|>a\\ &&\\ \end{array}$$

La transformée en Z possède les propriétés formelles suivantes :

Par ailleurs, elle vérifie le théorème suivant, dit de la valeur initiale et de la valeur finale :

La transformée en Z permet de résoudre facilement des équations aux différences linéaires. En d'autres termes, de déterminer facilement le terme général d'une suite vérifiant une relation de récurrence linéaire. Par exemple, déterminons le terme général de la suite $(x(n))$ vérifiant $$x(n+1)=1,\!02 x(n)+100\textrm{ et }x(0)=50.$$ On note $F$ la transformée en Z de la suite. En utilisant toutes les propriétés évoquées précédemment, on trouve que $F$ vérifie l'équation $$z\big(F(z)-50\big)=1,\!02 F(z)+\frac{100 z}{z-1}.$$ On calcule F en l'isolant, soit $$F(z)=\frac{50 z }{z-1,\!02}+\frac{100 z}{(z-1)(z-1,\!02)}$$ ce qui, après décomposition en éléments simples, donne $$F(z)=\frac{5050 z}{z-1,\!02}-\frac{5000 z}{z-1}.$$ On lit ensuite dans la table des transformées en Z les originaux qui apparaissent dans le membre de droite de l'égalité précédente, et on trouve enfin que $$x(n)=5050\times 1,\!02^n -5000.$$