Trace d'une matrice carrée, d'une application linéaire
La trace d'une matrice carrée $M$ est la somme de ses coefficients diagonaux. On la note $\textrm{Tr}(M).$
Exemple :
$$M=\begin{pmatrix} 14&6&6&3\\ 9&10&6&9\\ 30&4&-9&-7\\ 1&0&4&1 \end{pmatrix},\quad\quad \textrm{Tr}(M)=14+10-9+1=16.$$La trace est une forme linéaire sur $\mathcal M_n(\mathbb K)$ qui vérifie en outre $\textrm{Tr}(AB)=\textrm{Tr}(BA)$ pour toutes matrices $A$ et $B$ de $\mathcal M_n(\mathbb K).$
Plus généralement, on peut définir la trace d'une application linéaire : c'est la trace de la matrice qui lui est associée dans une base quelconque de l'espace vectoriel (la quantité obtenue ne dépend pas de la base choisie!).
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