Torsion dans un groupe

Soit $G$ un groupe. Un élément $x\in G$ est dit de torsion s'il est d'ordre fini, c'est-à-dire s'il existe un entier naturel $n\geq 1$ tel que $x^n=e$. L'ensemble des éléments de torsion de $G$ s'appelle la torsion de $G$. Si $G$ est abélien, la torsion de $G$ est un sous-groupe de $G$, appelé sous-groupe de torsion de $G$. Un groupe est dit sans torsion si sa torsion ne contient que le neutre, c'est-à-dire si tout élément différent du neutre est d'ordre infini.

Exemple : Le sous-groupe de torsion du groupe abélien $(\mathbb R/\mathbb Z,+)$ est $\mathbb Q/\mathbb Z$.

Un groupe est dit groupe de torsion si tous ses éléments sont de torsion. Bien entendu, tout groupe fini est de torsion, mais il existe également des groupes infinis qui sont de torsion, comme $\mathbb Q/\mathbb Z.$

Si la torsion $T$ d'un groupe $G$ est un sous-groupe alors $T$ est pleinement caractéristique dans $G$ et $G/T$ est sans torsion.

La notion de torsion se généralise aux modules sur un anneau. Si $A$ est un anneau commutatif unitaire et si $M$ est un module sur $A,$ un élément de torsion de $M$ est un vecteur $x\in M$ annulé par un élément régulier $a\in A$ : $ax = 0.$