Distances équivalentes et topologiquement équivalentes

Soit $X$ un ensemble. Deux distances $d_1$ et $d_2$ sur $X$ sont dites équivalentes s'il existe $a,b>0$ tels que, pour tous $x,y\in X,$ $$a d_1(x,y)\leq d_2(x,y)\leq b d_1(x,y).$$

Deux distances $d_1$ et $d_2$ sur $X$ sont dites topologiquement équivalentes si elles définissent la même topologie (c'est-à-dire qu'elles ont les mêmes ouverts, donc les mêmes fermés, les mêmes compacts). Cela revient à dire que les deux propriétés suivantes sont vérifiées : $$\forall x\in X,\ \forall \veps>0,\ \exists\alpha>0,\ B_{d_1}(x,\alpha)\subset B_{d_2}(x,\veps).$$ $$\forall x\in X,\ \forall \veps>0,\ \exists\alpha>0,\ B_{d_2}(x,\alpha)\subset B_{d_1}(x,\veps).$$

Deux distances équivalentes sont aussi topologiquement équivalentes, mais la réciproque est fausse. Par exemple, sur $\mathbb R,$, les distances $d_1(x,y)=|x-y|$ et $d_2(x,y)=\min(1,|x-y|)$ sont topologiquement équivalentes mais ne sont pas équivalentes.