Topologie initiale, topologie finale
Les notions de topologie initiale et de topologie finale sont des moyens pour définir une topologie "naturelle" sur un ensemble $X$ de sorte que certaines applications soient continues.Topologie initiale
Soit $X$ un ensemble, $(Y_i,\tau_i)_{i\in I}$ une famille d'espaces topologiques et $f_i:X\to Y_i$ des applications, $i\in I$. On appelle topologie initiale sur $X$ la topologie la moins fine (celle qui possède le moins d'ouverts) de sorte que toutes les $f_i$ soient continues. Autrement dit, la topologie initiale sur $X$ est la topologie engendrée par les ensembles du type $f_i^{-1}(U)$, où $i$ décrit $I$ et $U$ décrit les ouverts de $Y_i$.
Exemples :
- la topologie produit sur $X\times Y$ est une topologie initiale : c'est la topologie la moins fine sur $X\times Y$ qui rend continue les deux projections canoniques.
- la topologie induite par un espace topologique $(E,\tau)$ sur une de ses parties $A$ est une topologie initiale : c'est la topologie la moins fine sur $A$ qui rend continue l'injection canonique.
- la topologie faible sur un espace de Banach $X$ est une topologie initiale : c'est la topologie la moins fine sur $X$ qui rend continue toutes les formes linéaires continues.
Théorème :
Soit $X$ un ensemble, soit $Z$ un espace topologique, $(Y_i,\tau_i)_{i\in I}$ une famille d'espaces topologiques et $f_i:X\to Y_i$ une famille d'applications de $X$ dans $Y_i$.
- Si $X$ est muni de la topologie initiale, alors toute application $g:Z\to X$ est continue si et seulement si tous les $f_i\circ g:Z\to Y_i$ sont continues.
- Réciproquement, si une topologie sur $X$ vérifie la propriété précédente, alors elle contient la topologie initiale.
Topologie finale
Soit $X$ un ensemble, $(Y_i,\tau_i)_{i\in I}$ une famille d'espaces topologique et $f_i:Y_i\to X$ des applications, $i\in I$. On appelle topologie finale sur $X$ la topologie la plus fine (celle qui possède le plus d'ouverts) de sorte que toutes les $f_i$ soient continues. Autrement dit, une partie $U$ de $X$ est un ouvert pour la topologie finale si et seulement si, pour tout $i\in I$, $f_i^{-1}(U)$ est un ouvert de $Y_i$.
Exemple :
- la topologie quotient est la topologie finale relative à l'application quotient.
Théorème :
Soit $X$ un ensemble, soit $Z$ un espace topologique, $(Y_i,\tau_i)_{i\in I}$ une famille d'espaces topologiques et $f_i:Y_i\to X$ une famille d'applications.
- Si $X$ est muni de la topologie finale, alors toute application $g:X\to Z$ est continue si et seulement si tous les $g\circ f_i:Y_i\to Z$ sont continues.
- Réciproquement, si une topologie sur $X$ vérifie la propriété précédente, alors elle est contenue dans la topologie finale.
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