Topologie induite

Soit $(E,\tau)$ un espace topologique et $A$ une partie de $E$. On appelle topologie induite par $(E,\tau)$ sur $A$ la topologie $\tau_A=\{U\cap A;\ U\in \tau\}$. Autrement dit, la topologie induite par $E$ sur $A$ est la topologie sur $A$ dont les ouverts sont les intersections des ouverts de $E$ avec $A$. De la même façon, les fermés pour la topologie induite de $E$ sur $A$ sont les intersections de fermés de $E$ avec $A$.

Il faut faire attention à ce qu'un ouvert pour la topologie induite n'est pas toujours un ouvert pour $(E,\tau)$. Prenons en effet $E=\mathbb R$ muni de sa topologie usuelle, et $A=[0,1]$. Alors $U=[0,1/2[$ est un ouvert relatif de $A$ (par exemple car on peut écrire $U=]-1,1/2[\cap A)$ alors que ce n'est pas du tout un ouvert de $\mathbb R$.