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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Fonctions d'une variable réelle >

Fonction de Thomae

La fonction de Thomae est une fonction ayant la particularité très étrange suivante : elle est continue en tout irrationnel (et donc sur une partie dense) et elle est discontinue en tout rationnel (et donc également sur une partie dense). Elle est définie par la formule suivante : $$ T(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0&\textrm{ si }x\notin\mathbb Q\\ 1&\textrm{ si }x=0\\ \frac 1q&\textrm{ si }x\in\mathbb Q^*\textrm{ s'écrit }x=p/q,\ p\in\mathbb Z,\ q\in\mathbb N^*,\ p\wedge q=1. \end{array} \right. $$

La continuité de $T$ en un irrationnel $a$ vient du fait que si $(x_n)$ est une suite de rationnels qui converge vers $a$, qu'on écrit $x_n=p_n/q_n$, alors la suite $(q_n)$ tend vers l'infini. La discontinuité de $T$ en un rationnel vient du fait qu'il existe toujours une suite d'irrationnels qui converge vers un rationnel.

La fonction de Thomae a été introduite par le mathématicien Carl Johannes Thomae en 1875.
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