$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Théorème des 2,3,4,5,6 cercles!

Théorème de Reim ou des deux cercles
Théorème : Soit deux cercles $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ sécants en $A$ et en $B$. Deux droites $D_A$ et $D_B$ passant respectivement par $A$ et par $B$ recoupent $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ en respectivement $P,P'$ et $Q,Q'$. Alors les droites $(PQ)$ et $(P'Q')$ sont parallèles.
Théorème de Miquel ou des trois cercles
Théorème : Soit trois cercles $\mathcal C_1$, $\mathcal C_2$ et $\mathcal C_3$ concourants en $M$. On appelle encore
  • $A'$ le deuxième point d'intersection de $\mathcal C_2$ et $\mathcal C_3$,
  • $B'$ le deuxième point d'intersection de $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_2$,
  • $C'$ le deuxième point d'intersection de $\mathcal C_1$ et $\mathcal C_3$.
Soit $A$ un point de $\mathcal C_1$. La droite $(AB')$ recoupe $\mathcal C_2$ en $B$ et la droite $(AC')$ recoupe $\mathcal C_3$ en $C$. Alors $B,C$ et $A'$ sont alignés.
Théorème des quatre cercles
Théorème : Soit deux cercles $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ sécants en $A$ et en $B$. Soit $D_A$ une droite passant par $A$ et $D_B$ une droite passant par $B$. $D_A$ recoupe $\mathcal C$ en $P$ et $\mathcal C'$ en $P'$. $D_B$ recoupe $\mathcal C$ en $Q$ et $\mathcal C'$ en $Q'$. Soit enfin $\mathcal C''$ un cercle passant par $P$ et $Q$, et $P''$ (respectivement $Q''$) son intersection avec $D_A$ (respectivement $D_B$). Alors les points $P',Q',P'',Q''$ sont cocycliques.
Théorème des cinq cercles
Théorème : Soit deux cercles $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ sécants en $A$ et en $B$. Soit $D_A$ une droite passant par $A$ et $\mathcal C_B$ un cercle passant par $B$. $D_A$ recoupe $\mathcal C$ en $P$ et $\mathcal C'$ en $P'$. $\mathcal C_B$ recoupe $\mathcal C$ en $Q$ et $\mathcal C'$ en $Q'$. Soit enfin $\mathcal C''$ un cercle passant par $P$ et $Q$, et $P''$ (respectivement $Q''$) son intersection avec $D_A$ (respectivement $\mathcal C_B$). Alors les points $P',Q',P'',Q''$ sont cocycliques.
Le théorème des cinq cercles est donc une version du théorème des quatre cercles où on a remplacé une droite par un cercle.
Théorème des six cercles
Si on remplace la deuxième droite par un autre cercle, on obtient le théorème des... six cercles!
Théorème : Soit deux cercles $\mathcal C$ et $\mathcal C'$ sécants en $A$ et en $B$. Soit $\mathcal C_A$ un cercle passant par $A$ et $\mathcal C_B$ un cercle passant par $B$. $\mathcal C_A$ recoupe $\mathcal C$ en $P$ et $\mathcal C'$ en $P'$. $\mathcal C_B$ recoupe $\mathcal C$ en $Q$ et $\mathcal C'$ en $Q'$. Soit enfin $\mathcal C''$ un cercle passant par $P$ et $Q$, et $P''$ (respectivement $Q''$) son intersection avec $\mathcal C_A$ (respectivement $\mathcal C_B$). Alors les points $P',Q',P'',Q''$ sont cocycliques.

Référence : Algèbre et Géométries, Pascal Boyer, Calvage et Mounet (excellent livre!)

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