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Dictionnaire de mathématiques > Arithmétique > Divisibilité et congruence >

Formule de Thabit

La formule de Thabit est une formule qui permet de créer un couple de nombres amicaux. Rappelons que deux entiers $a$ et $b$ sont amicaux lorsque chacun d'entre eux est égal à la somme des diviseurs de l'autre, à l'exception du nombre lui-même. Par exemple, $220$ et $284$ sont amicaux.

Le mathématicien et astronome arabe Thabit ibn Qurra a démontré vers 1850 que si $n\geq 2$ est un entier, et que si $p=3\times 2^{n-1}$, $q=3\times 2^n -1$ et $r=9\times 2^{2n-1}-1$ sont premiers, alors $2^npq$ et $2^n r$ forment un couple de nombres amicaux.

Les couples de nombres amicaux sont très rares (avant l'avénement de l'informatique, en 1946, il y avait à peine 390 paires connues), et la formule de Thabit ne permet pas de tous les déterminer. Cette formule a été redécouverte par Fermat et Descartes au XVIIè siècle, puis améliorée par Euler au XVIIIè siècle.

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