Formules de Taylor
Avant d'énoncer les différentes formules de Taylor, rappelons qu'elles sont dites formules de MacLaurin si elles sont écrites en 0. Dans la suite, $I$ désigne un intervalle de $\mathbb R$. L'idée des formules de Taylor est la suivante. On considère $a,b\in I$. Comment peut-on approcher $f(b)$ par la somme $\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(b-a)^k?$
Soit $f:I\to\mathbb R$ et $a\in I$. On suppose que $f$ est $n-1$-fois dérivable dans un voisinage de $a$ et que $f^{(n)}(a)$ existe. Alors $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ donné par $$f(a+h)=_0f(a)+f'(a) h+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n+o(h^n).$$
Soit $f:I\to\mathbb R$ et $a,b\in I$. On suppose que $f$ est $n$ fois dérivable sur le segment $[a,b]$, et $n+1$ fois dérivable sur l'intervalle ouvert $]a,b[$. Alors il existe $c\in ]a,b[$ tel que $$f(b)-\sum_{k=0}^{n}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)=\frac{f^{(n+1)}(c)(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}.$$
On peut en déduire l'inégalité de Taylor-Lagrange : sous les mêmes hypothèses, s'il existe $M\in\mathbb R_+$ tel que $|f^{(n+1)}(y)|\leq M$ pour tout $y\in]a,b[,$ alors $$\left|f(b)-\sum_{k=0}^{n}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)\right|\leq \frac{M(b-a)^{n+1}}{(n+1)!}.$$ L'un des intérêts de l'inégalité de Taylor-Lagrange est qu'elle reste vraie pour les fonctions à valeurs complexes (et même à valeurs dans un espace vectoriel normé) contrairement à l'égalité de Taylor-Lagrange.
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^{n+1}$. Alors
$$f(b)=f(a)+\frac{(b-a)}{1!}f'(a)+\cdots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(a)+\int_a^b \frac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt.$$La formule de Taylor avec reste intégral est une généralisation du théorème fondamental du calcul intégral, et s'obtient par récurrence en effectuant des intégrations par parties. Elle se généralise pour des fonctions vectorielles (par exemple, à valeurs dans $\mathbb R^n$ ou plus généralement à valeurs dans un espace de Banach).
Les 3 formules de Taylor précédentes sont énoncées de la moins précise à la plus précise. Les hypothèses nécessaires sont aussi de plus en plus fortes. Elles sont de nature très différentes. La formule de Taylor-Young est une formule locale, qui donne des informations au voisinage d'un point. C'est elle notamment qui donne l'existence de développements limités et qui sert pour faire des études locales de courbes. La formule de Taylor-Lagrange donne des renseignements sur tout un intervalle. Quant à la formule de Taylor reste intégral, c'est la seule à donner une expression précise du reste. Elle est très utile lorsqu'on s'intéresse à la régularité de ce reste.
Les formules précédentes se généralisent aux fonctions de plusieurs variables. La formule la plus usitée est la formule de Taylor-Young à l'ordre 2 (pour la recherche d'extrema).
- Formule de Taylor-Young : si $f$ est $k$ fois différentiable en $a$, alors pour $h\in\mathbb R^n$ tel que $a+h\in U,$ $$f(a+h)=f(a)+Df(a)(h)+\cdots+\frac 1{k!}D^k f(a)(h)^k+o(\|h\|^k).$$
- Formule de Taylor avec reste intégral : si $f$ est de classe $C^{k+1}$ sur $U$ et si $h\in\mathbb R^n$ est tel que le segment $[a,a+h]$ est inclus dans $U$, on a : \begin{eqnarray*} f(a+h)&=&f(a)+Df(a)(h)+\cdots+\frac 1{k!}D^k f(a)(h)^k\\ &&\quad+\int_0^1 \frac{(1-t)^{k}}{k!}D^{k+1}f(a+th)(h)^{k+1}dt. \end{eqnarray*}