Théorèmes taubériens
On appelle théorème taubérien tout théorème qui compare divers modes de convergence de séries. Donnons un exemple, dû à Tauber lui-même.
Théorème : On se donne une série entière $\sum_n a_n x^n$
de rayon de convergence égal à 1. Si la suite $(na_n)$ admet pour limite 0 et si la
somme $f(x)$ de la série entière $\sum_n a_n x^n$ admet
pour limite $\ell\in\mathbb C$ quand $x$ tend vers $1^-$, alors la série $\sum_n a_n$
converge et a pour somme $\ell$.
Hardy et Littlewood furent notamment des spécialistes en théorèmes taubériens! Le théorème taubérien que l'on nomme habituellement théorème taubérien de Hardy et Littlewood est l'énoncé précédent en remplaçant la condition $a_n=o(1/n)$ par la condition beaucoup moins forte $a_n=O(1/n)$.
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