Tangente d'un angle et fonction tangente
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $B.$ On appelle tangente de l'angle $\widehat{BAC}$ la quantité :
La définition précédente ne permet que de définir la tangente d'un angle aigu. On peut définir en fait la tangente d'un nombre réel en utilisant le cercle trigonométrique.
Soit $x$ un réel. On note $M$ le point du cercle trigonométrique telle que la mesure de $(\overrightarrow{i},\overrightarrow{OM})$ soit égale à $x$ radians. Soit encore $D$ la tangente au cercle au point de coordonnées $(1,0)$ et $P$ le point d'intersection des droites $(OM)$ et $D.$ La tangente de $x$ est l'ordonnée du point $P.$ Ceci n'est bien sûr défini que si $x$ n'est pas congru à $\pi/2$ modulo $\pi$ (sinon $(OM)$ est parallèle à $D$).
Grâce à l'animation Geogebra suivante, vous pouvez faire varier l'angle $(\overrightarrow i,\overrightarrow{OM})$ et voir la courbe représentative de la fonction tangente se dessiner.
- la fonction $\tan:\mathbb R\backslash\left\{\frac\pi 2+k\pi:\ k\in\mathbb Z\right\}\to \mathbb R$ est continue et dérivable sur son domaine de définition. Sa dérivée vérifie pour tout $x\in\mathbb R\backslash\left\{\frac\pi 2+k\pi:\ k\in\mathbb Z\right\}$, $$(\tan )'(x)=\frac1{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x).$$
- La fonction $\tan$ est impaire et $\pi$-périodique.
- On a $\lim_{x\to{\frac{\pi}2}^-}\tan(x)=+\infty$ et $\lim_{x\to-{\frac{\pi}2}^+}\tan(x)=-\infty.$
- pour tout $x\in\mathbb R\backslash\left\{\frac\pi 2+k\pi:\ k\in\mathbb Z\right\},$ on a $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}.$
