Tangente à une courbe
La tangente en $A$ à une courbe $(C)$ est la position limite, si elle existe, de la droite $(AM)$ joignant le point $A$ à un point $M$ de la courbe, lorsque ce point $M$ tend vers $A.$ Par exemple, pour un cercle de centre $O,$ la tangente en un point $A$ de ce cercle est la droite perpendiculaire à $(OA)$ passant par $A.$
Recherche de l'équation de la tangente :
- Cas d'une courbe définie par une équation cartésienne $y=f(x)$ : Si $f$ est dérivable en $x_0,$ alors la tangente à la courbe représentative de $f$ en le point $(x_0,f(x_0))$ a pour équation : $$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$ Par exemple, pour la parabole d'équation $y=x^2,$ au point $A=(1,1),$ la tangente a pour équation $y-1=2(x-1).$
- Cas d'une courbe définie par des équations paramétriques $x=f(t),y=g(t)$ : si $f$ et $g$ sont dérivables en $t_0$, la tangente en $M_0=(f(t_0),g(t_0))$ est la droite passant par le point $M_0,$ et de vecteur directeur $(f'(t_0),g'(t_0)),$ si ce dernier vecteur n'est pas nul bien sûr... Ceci se généralise sans problèmes à des courbes paramétrées dans l'espace!
- Cas d'une courbe donnée par une équation polaire $r=r(\theta)$ : la tangente à la courbe en un point $M=M(\theta_0)$
est la droite passant par $M$ et faisant un angle $V$ avec la droite $(OM)$ où $V$ vérifie $\tan(V)=r(\theta_0)/r'(\theta_0).$
On dit parfois que deux courbes sont tangentes en un point si elles ont les mêmes tangentes en ce point.
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