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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Groupes >

Table de Cayley

  La table de Cayley d’un groupe fini $G$ est la table de multiplication de ce groupe. Il s'agit d'un tableau dont chaque colonne et chaque ligne représente un des éléments du groupe. A l'intersection de la ligne représentant $a$ et de la colonne représentant $b$ on écrit la valeur du produit $ab$ (elle peut être différente de $ba$ si le groupe n'est pas commutatif). Par exemple, si le groupe a trois éléments $a,b,c$, la table de Cayley correspondante est :

   $a$  $b$   $c$ 
 $a$   $a^2$   $ab$   $ac$ 
 $b$   $ba$   $b^2$   $bc$ 
 $c$   $ca$   $cb$   $c^2$ 

Exemple : table de Cayley de $\mathbb Z/4\mathbb Z$.

   $0$  $1$   $2$  $3$ 
 $0$   $0$   $1$   $2$  $3$ 
 $1$   $1$   $2$   $3$  $0$ 
 $2$   $2$   $3$   $0$  $1$ 
 $3$   $3$   $0$   $1$  $2$ 

Exemple : table de Cayley de $\mathbb Z/2\mathbb Z\times \mathbb Z/2\mathbb Z$.

   $(0,0)$  $(1,0)$   $(0,1)$  $(1,1)$ 
 $(0,0)$   $(0,0)$   $(1,0)$   $(0,1)$  $(1,1)$ 
 $(1,0)$   $(1,0)$   $(0,0)$   $(1,1)$  $(0,1)$ 
 $(0,1)$   $(0,1)$   $(1,1)$   $(0,0)$  $(1,0)$ 
 $(1,1)$   $(1,1)$   $(0,1)$   $(1,0)$  $(0,0)$ 

  On peut lire les propriétés du groupe sur la table de Cayley. Par exemple, le groupe est commutatif si le tableau est symétrique par rapport à sa diagonale principale.

Ces tables portent le nom du mathématicien Arthur Cayley, le premier à avoir formalisé la structure de groupe fini. Ces tables apparaissent pour la première fois dans ces travaux en 1854.
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