Tableau de contingence
Un tableau de contingence est une méthode de représentation simultanée de deux séries statistiques. Il permet de visualiser la dépendance entre deux caractères observés sur une même population.
Voyons un exemple : dans une classe qui comporte 35 élèves, on demande à chacun quelle est sa discipline préférée. On note pour chaque réponse s'il s'agit d'une fille ou d'un garçon. On remplit alors un tableau comme le suivant :
Maths | Anglais | Histoire | Total | |
Filles | 10 | 5 | 6 | 21 |
Garçons | 4 | 6 | 4 | 14 |
Total | 14 | 11 | 10 | 35 |
La valeur 10 à l'intersection de la ligne Filles et de la colonne Maths signifie que parmi les 35 élèves, il y a 10 filles dont la discipline préférée est Maths. Sur chaque ligne et sur chaque colonne, on a réalisé les sommes des valeurs écrites.
Un tableau de contingence est particulièrement pratique pour réaliser des calculs de probabilités conditionnelles. Si on choisit un élève au hasard dans cette classe et qu'on cherche la probabilité qu'il préfère les maths sachant que c'est une fille, on effectue simplement le calcul $\frac{10}{21}.$ Si on cherche la probabilité que c'est un garçon sachant qu'il préfère l'anglais, alors on trouve $\frac 6{11}.$
Plus généralement, si on observe deux caractères $X$ et $Y$ sur une population de taille $n,$ on construit le tableau de contingence de $X$ et de $Y$ de la façon suivante :
- on note $x_1,\dots,x_r$ les modalités de $X$ et $y_1,\dots,y_s$ celles de $Y.$
- on note $n_{i,j}$ l'effectif conjoint de $x_i$ et $y_j$ : c'est le nombre d'individus pour lesquels $X=x_i$ et $Y=y_j.$
- on note $n_{i,\bullet}$ l'effectif marginal de $x_i$ : c'est le nombre d'individus pour lesquels $X=x_i.$
- on note $n_{\bullet,j}$ l'effectif marginal de $y_j$ : c'est le nombre d'individus pour lesquels $Y=y_j.$
Le tableau de contingence associé est alors :
$$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|} &d_1&\dots&d_j&\dots&d_s&\textrm{total} \\ \hline c_1&n_{1,1}&\dots&n_{1,j}&\dots&n_{1,s}&n_{1,\bullet} \\ \hline \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ \hline c_i&n_{i,1}&\dots&n_{i,j}&\dots&n_{i,s}&n_{i,\bullet} \\ \hline \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ \hline c_r&n_{r,1}&\dots&n_{r,j}&\dots&n_{r,s}&n_{r,\bullet} \\ \hline \textrm{total}&n_{\bullet,1}&\dots&n_{\bullet,j}&\dots&n_{\bullet,s}&n \end{array}$$