Conjecture de Syracuse
Prenons un entier $n$. S'il est pair, nous le divisons par 2. S'il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. Puis on recommence avec le nombre ainsi obtenu. Prenons un exemple, l'entier 10.
- 10 est pair. On effectue $10/2$ et on obtient 5.
- 5 est impair. On effectue $3×5+1$ et on obtient 16.
- 16 est pair. On effectue $16/2$ et on obtient 8.
- 8 est pair. On effectue $8/2$ et on obtient 4.
- 4 est pair. On effectue $4/2$ et on obtient 2.
- 2 est pair. On effectue $2/2$ et on obtient 1.
Puis à partir de 1, on reproduit une infinité de fois le cycle 4,2,1,4,2,1,... On a essayé tous les entiers jusqu'à $3,\!2\times 10^{16}$ : on finit toujours par tomber sur 1! La conjecture de Syracuse est le fait que ceci est vrai pour tout entier. Mais si cet énoncé est vraiment très facile à comprendre, aucun mathématicien n'a jamais réussi à le prouver, ni à l'infirmer.
En utilisant le programme ci-dessous, vous pouvez vérifier que l'on finit par tomber sur 1 sur n'importe quel entier que vous essaierez. Essayez notamment de trouver des entiers pour lesquels on met très longtemps à revenir sur 1 (27 est un bon exemple).
Le nom conjecture de Syracuse est lié à l'université de Syracuse aux Etats-Unis, où ce problème fut étudié. Dans les pays anglo-saxons, il est plus prosaïquement appelé problème 3x+1.