Forme, espace, endomorphisme et matrice symplectique
Soit $E$ un espace vectoriel réel. On appelle forme symplectique sur $E$ toute application $\omega:E^2\to\mathbb R$ vérifiant les trois propriétés suivantes :
- $\omega$ est bilinéaire : $\forall (x,y,z)\in E^3,\ \forall \lambda\in\mathbb R,$ $$\omega(x+\lambda y,z)=\omega(x,z)+\lambda\omega(y,z)$$ $$\omega(x,y+\lambda z)=\omega(x,y)+\lambda\omega(x,z).$$
- $\omega$ est anti-symétrique : $$\forall (x,y)\in E^2,\ \omega(x,y)=-\omega(y,x).$$
- $\omega$ est non dégénérée : $$\{x\in E:\ \forall y\in E,\ \omega(x,y)=0\}=\{0\}.$$
Un espace vectoriel symplectique $(E,\omega)$ est un $\mathbb R$-espace vectoriel muni d'une forme symplectique $\omega.$
Si $(E,\omega)$ est un espace symplectique, un endomorphisme $u\in\mathcal L(E)$ est un endomorphisme symplectique si, pour tout $(x,y)\in E^2,$ $$\omega(u(x),u(y))=\omega(x,y).$$
Lorsque $n=2m$, l'espace $\mathbb R^n$ est muni d'une forme symplectique standard $b_s$ définie par $$b_s(x,y)=\langle x,j(y)\rangle$$ où $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est le produit scalaire canonique sur $\mathbb R^n$ et $j$ est l'endomorphisme de $\mathbb R^n$ dont la matrice dans la base canonique est $$J=\begin{pmatrix}0&-I_m\\ I_m&0\end{pmatrix}.$$ Une matrice symplectique est la matrice d'un endomorphisme symplectique de $(E,b_s)$ dans la base canonique de $\mathbb R^n$. On démontre que $M$ est symplectique si et seulement si $$M^TJM=J.$$ Le déterminant d'une matrice symplectique est toujours égal à $1.$