Groupe symétrique
Si $E$ est un ensemble, on appelle groupe symétrique de $E$ (ou groupe des permutations de $E$) l'ensemble des bijections de $E$ sur $E$. On le note $S(E)$. $S(E)$ est un groupe, pour la composition des applications. Le plus souvent, on a $E=\{1,2,...,n\}$, et $S(E)$ est noté $S_n$. Dans ce cas, $S_n$ est de cardinal $n!$.
Le groupe symétrique $S_n$ possède les propriétés suivantes :
Théorème : Soit $n\geq 1.$
- Le centre de $S_n$ est $S_2$ si $n = 2$ et $\{\textrm{id}\}$ si $n = 1$ ou $n \geq 3.$
- $S_n$ est simple si et et seulement si $n=2.$
- Le groupe dérivé de $S_n$ est $\{\textrm{id}\}$ si $n = 1$ ou $n = 2$ et $A_n$ si $n \geq 3.$
- Le groupe des automorphismes de $S_n$, $\textrm{Aut}(S_n)$, est isomorphe à $$\left\{ \begin{array}{ll} \{\textrm{id}\}&\textrm{si $n=1$ ou }n=2\\ S_6 \rtimes \mathbb Z/2\mathbb Z&\textrm{si }n=6\\ S_n &\textrm{si }n\in\{3,4,5\}\textrm{ ou }n\geq 7. \end{array}\right.$$
- Pour $n\neq 6,$ tout automorphisme de $S_n$ est intérieur.
C'est l'étude des groupes symétriques par Galois, précisément le groupe des permutations des racines d'un polynôme, qui a conduit à la définition abstraite de groupe.
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