$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Groupe symétrique

Si $E$ est un ensemble, on appelle groupe symétrique de $E$ (ou groupe des permutations de $E$) l'ensemble des bijections de $E$ sur $E$. On le note $S(E)$. $S(E)$ est un groupe, pour la composition des applications. Le plus souvent, on a $E=\{1,2,...,n\}$, et $S(E)$ est noté $S_n$. Dans ce cas, $S_n$ est de cardinal $n!$.

Le groupe symétrique $S_n$ possède les propriétés suivantes :

Théorème : Soit $n\geq 1.$
  • Le centre de $S_n$ est $S_2$ si $n = 2$ et $\{\textrm{id}\}$ si $n = 1$ ou $n \geq 3.$
  • $S_n$ est simple si et et seulement si $n=2.$
  • Le groupe dérivé de $S_n$ est $\{\textrm{id}\}$ si $n = 1$ ou $n = 2$ et $A_n$ si $n \geq 3.$
  • Le groupe des automorphismes de $S_n$, $\textrm{Aut}(S_n)$, est isomorphe à $$\left\{ \begin{array}{ll} \{\textrm{id}\}&\textrm{si $n=1$ ou }n=2\\ S_6 \rtimes \mathbb Z/2\mathbb Z&\textrm{si }n=6\\ S_n &\textrm{si }n\in\{3,4,5\}\textrm{ ou }n\geq 7. \end{array}\right.$$
  • Pour $n\neq 6,$ tout automorphisme de $S_n$ est intérieur.
C'est l'étude des groupes symétriques par Galois, précisément le groupe des permutations des racines d'un polynôme, qui a conduit à la définition abstraite de groupe.
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