Symétrie (dans un espace vectoriel)
Définition : Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires d'un espace vectoriel $E$.
Alors on appelle symétrie par rapport à $F$ parallèlement
à $G$ l'application qui à tout $x$ de $E$ qui se décompose uniquement en $x=y+z$ avec $y$ dans $F$
et $z$ dans $G$ associe $s(x)=y-z.$
Exemple : $E=\mathbb R^2$, $F$ et $G$ sont deux droites de $E$.
Une symétrie est un automorphisme involutif, c'est-à-dire que $s\circ s=\textrm{Id}_E.$ Réciproquement, tout endomorphisme de $E$ vérifiant $s\circ s=\textrm{Id}_E$ est une symétrie. C'est la symétrie par rapport à $\ker(s-\textrm{Id}_E)$ parallèlement à $\ker(s+\textrm{Id}_E).$
Si $E$ est de dimension finie $n$ et si $F$ est de dimension $n-1,$ on dit que $s$ est une réflexion. Si $\dim(F)=n-2,$ on dit que $s$ est un renversement. On utilise souvent ces définitions lorsque $E$ est euclidien et on impose alors à $s$ d'être une symétrie orthogonale.
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