Suite de Sylvester

On appelle suite de Sylvester la suite d'entiers dont le premier terme est égal à $2$, et dont les autres termes sont le produit de tous les termes précédents augmenté de $1.$ Ainsi, si on note $(s_n)_{n\geq 0}$ la suite de Sylvester, elle est définie par récurrence par $s_0=2$ et, pour $n\geq 1,$ $$s_n=1+\prod_{k=0}^{n-1}s_k.$$ Les premiers termes de la suite sont $2$, $3,$ $7$, $43$, $1\ 807$, $3\ 263\ 443$, $10\ 650\ 056\ 950\ 807$.

La suite de Sylvester croît extrèmement vite. En effet, elle présente une croissance exponentielle double : il existe une constante $E\simeq 1,\!26408\dots$ appelée constante de Vardi telle que, pour tout $n\geq 1,$ $$s_n\sim_{n\to+\infty}E^{2^{n+1}}.$$

La suite de Sylvester possède également la propriété arithmétique intéressante suivante : la série de terme général les inverses $1/s_n$ converge vers $1$ : $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac 1{s_n}=1.$$ De plus, parmi les séries d'inverses de nombres entiers qui converge vers $1,$ c'est la série qui converge le plus vite : pour tout $n\geq 0$ et pour tous les entiers naturels non nuls $a_0,\dots,a_n$ tels que $$1>\sum_{k=0}^{n}\frac1{a_k},$$ alors $$1-\sum_{k=0}^{n}\frac1{a_k}\geq 1-\sum_{k=0}^n \frac1{s_k}.$$