$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Régularisation par convolution

On appelle suite régularisante sur $\mathbb R^n$ tout suite $(\alpha_k)$ de fonctions de $\mathbb R^n$ à valeurs dans $[0,+\infty[$ telle que :

  1. Pour tout $k\geq 1$, $\int_{\mathbb R^n}\alpha_k(x) dx=1.$
  2. Il existe une suite $(r_k)$ de réels strictement positifs tendant vers $0$ telle que, pour tout $k\geq 1$, $\textrm{supp}(\alpha_k) \subset B(0,r_k).$
  3. Pour tout $k\geq 1$, $\alpha_k$ est de classe $\mathcal C^\infty$.

L'intérêt des suites régularisantes est de .... régulariser des fonctions grâce au produit de convolution.

Théorème : Soit $(\alpha_k)$ une suite régularisante sur $\mathbb R^n$ et soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$.
  • Si $f$ est uniformément continue, $(\alpha_k\star f)$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb R.$
  • Si $f$ est dans $L^p(\mathbb R^n)$, $p\in[1,+\infty[,$ $(\alpha_k\star f)$ converge vers $f$ dans $L^p(\mathbb R^n).$
En outre, si $f$ est localement intégrable, $(\alpha_k\star f)$ est toujours une fonction de classe $\mathcal C^\infty.$

La terminologie suite régularisante n'est pas totalement figée. On remplace parfois la condition 2. précédente par $$\forall \delta>0,\ \int_{|x|\geq\delta}|\alpha_k(x)|dx\to 0$$ et on ne demande plus à la suite de ne prendre que des valeurs positives. On parle alors également d'unité approchée ou encore d'approximation de l'identité.

Le nom d'unité approchée vient du constat suivant : le produit de convolution fait de $L^1(\mathbb R^n)$ une algèbre commutative. Dans cette algèbre, il n'y a pas d'unité, c'est-à-dire pas de fonction $e$ telle que $e\star f=f$ pour tout $f\in L^1(\mathbb R^n).$ Les suites régularisantes approchent cela, au sens où $\alpha_k\star f\to f.$
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