Régularisation par convolution
On appelle suite régularisante sur $\mathbb R^n$ tout suite $(\alpha_k)$ de fonctions de $\mathbb R^n$ à valeurs dans $[0,+\infty[$ telle que :
- Pour tout $k\geq 1$, $\int_{\mathbb R^n}\alpha_k(x) dx=1.$
- Il existe une suite $(r_k)$ de réels strictement positifs tendant vers $0$ telle que, pour tout $k\geq 1$, $\textrm{supp}(\alpha_k) \subset B(0,r_k).$
- Pour tout $k\geq 1$, $\alpha_k$ est de classe $\mathcal C^\infty$.
L'intérêt des suites régularisantes est de .... régulariser des fonctions grâce au produit de convolution.
Théorème : Soit $(\alpha_k)$ une suite régularisante sur $\mathbb R^n$ et soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$.
En outre, si $f$ est localement intégrable, $(\alpha_k\star f)$ est toujours une fonction de
classe $\mathcal C^\infty.$
- Si $f$ est uniformément continue, $(\alpha_k\star f)$ converge uniformément vers $f$ sur $\mathbb R.$
- Si $f$ est dans $L^p(\mathbb R^n)$, $p\in[1,+\infty[,$ $(\alpha_k\star f)$ converge vers $f$ dans $L^p(\mathbb R^n).$
La terminologie suite régularisante n'est pas totalement figée. On remplace parfois la condition
2. précédente par
$$\forall \delta>0,\ \int_{|x|\geq\delta}|\alpha_k(x)|dx\to 0$$
et on ne demande plus à la suite de ne prendre que des valeurs positives.
On parle alors également d'unité approchée ou encore d'approximation de l'identité.
Le nom d'unité approchée vient du constat suivant : le produit
de convolution fait de $L^1(\mathbb R^n)$ une algèbre commutative. Dans cette algèbre, il n'y a pas d'unité,
c'est-à-dire pas de fonction $e$ telle que $e\star f=f$ pour tout $f\in L^1(\mathbb R^n).$
Les suites régularisantes approchent cela, au sens où $\alpha_k\star f\to f.$
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