Suite exacte

Soit $(G_i)$ une suite (finie ou infinie) de groupes, et $(U_i)$ une suite de morphismes de groupes, $U_i:G_i\to G_{i+1}$. On dit que la suite $$\cdots \xrightarrow{} G_{i-1}\xrightarrow{U_{i-1}} G_i\xrightarrow{U_{i}}G_{i+1}\to\cdots$$ est exacte si pour tout $i,$ $\ker(U_i)=\textrm{Im}(U_{i-1}).$ On peut aussi définir des suites exactes d'anneaux, d'espaces vectoriels ou de modules en considérant le type de morphisme approprié.

Une suite exacte courte est une suite exacte de la forme $$0\xrightarrow{} G\xrightarrow{i} G'\xrightarrow{p} G''\xrightarrow{}0.$$ En particulier, $i$ est injectif et $p$ est surjectif. En théorie des groupes, une suite exacte courte est parfois appelée extension de groupes.

Exemple : Si $i$ est l'injection de $n\mathbb Z$ dans $\mathbb Z$, et $p$ la projection de $\mathbb Z$ dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, alors la suite $$0\xrightarrow{} n\mathbb Z\xrightarrow{i} \mathbb Z\xrightarrow{p} \mathbb Z/n\mathbb Z\xrightarrow{}0$$ est exacte.