Norme subordonnée

Soit $(E,N_1)$ et $(F,N_2)$ deux espaces vectoriels normés. On définit une norme sur l'espace des applications linéaires continues de $(E,N_1)$ dans $(F,N_2)$ par, pour tout $f\in\mathcal L_c(E,F)$, \begin{align*} \|f\|&=\sup_{x\in E,\ x\neq 0}\frac{N_2(f(x))}{N_1(x)}\\ &=\sup_{x\in E,\ N_1(x)=1} N_2(f(x))\\ &=\sup_{x\in E,\ N_1(x)\leq 1}N_2(f(x)). \end{align*} Cette norme s'appelle norme subordonnée aux normes $N_1$ et $N_2$.

Lorsque $E=F$ et $N_1=N_2$, la norme subordonnée correspondante est une norme d'algèbre sur $\mathcal L_c(E)$ : pour tous $f,g\in\mathcal L_c(E)$, on a $$\|f\circ g\|\leq \|f\|\times \|g\|.$$