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Théorème de Stone-Weierstrass

Théorème : Soit $X$ un espace compact et $A$ une sous-algèbre de l'algèbre $\mathcal C(X,\mathbb R)$ des fonctions continues à valeurs réelles, munie de la norme infinie. On suppose que
  1. $A$ sépare les points de $X$, c'est-à-dire : $$\forall (x,y)\in X^2,\ x\neq y,\ \exists f\in A,\ f(x)\neq f(y).$$
  2. Pour tout $x\in X$, il existe $f\in A$ tel que $f(x)\neq 0$.
Alors $A$ est dense dans $\mathcal C(X,\mathbb R)$.

Ce théorème est une généralisation du théorème de Weierstrass pour l'approximation d'une fonction continue sur un segment $[a,b]$ par un polynôme. Dans ce cas, on a en effet $X=[a,b]$ et $A$ est l'algèbre des fonctions polynômes qui vérifie bien les deux hypothèses.

On peut aussi remarquer que les deux conditions du théorème sont aussi nécessaires, et donc que le théorème de Stone-Weierstrass donne une condition nécessaire et suffisante pour la densité d'une sous-algèbre de $\mathcal C(X,\mathbb R)$. Dans le cas des fonctions continues à valeurs complexes, on doit rajouter l'hypothèse que $A$ est stable par conjugaison.

La forme générale du théorème de Stone-Weierstrass a été donnée par Stone en 1937 alors qu'à l'origine Weierstrass avait démontré en 1885 que toute fonction continue sur un intervalle borné de $\mathbb R$ peut être uniformément par des polynômes.
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