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Bibm@th

Projection stéréographique

On considère une sphère $S$ de $\mathbb R^3$ et on note $N$ son pôle nord. La projection stéréographique de la sphère (privée de $N$) sur son plan équatorial est l'application $\phi$ qui à tout point $P$ de $S\backslash\{N\}$ associe le point $Q,$ intersection de la droite $(NP)$ et du plan équatorial.

La projection stéréographique est un homéomorphisme de $S\backslash\{N\}$ sur $\mathbb R^2.$ Elle se prolonge en un homéomorphisme de $S$ sur $\mathbb R^2\cup\{\infty\},$ le compactifié d'Alexandrov de $\mathbb R^2$, en posant $\phi(N)=\infty.$ L'ensemble $\mathbb R^2\cup\{\infty\}$ est aussi appelé sphère de Riemann. Un ensemble $U$ est un voisinage de $\infty$ s'il contient $\infty$ et tous les nombres complexes $z$ tels que $|z|>r$ pour un certain réel $r.$

La projection stéréographique respecte la structure géométrique. Les cercles de $S$ sont transformés en une droite ou un cercle de $\mathbb R^2,$ et réciproquement.

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