Suite sous-additive, sur-additive, sous-multiplicative
Une suite $(u_n)_{n\geq 1}$ de nombres réels est dite sous-additive si, pour tout couple $(n,m)$ d'entiers strictement positifs, $$u_{n+m}\leq u_n+u_m.$$ Elle est dite sur-additive si, pour tout couple $(n,m)$ d'entiers strictement positifs, $$u_{n+m}\geq u_n+u_m.$$
- Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite de nombres réels sous-additive. Alors la suite $(u_n/n)_{n\geq 1}$ admet une limite et on a $$\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{n}=\inf_{n\geq 1}\frac{u_n}n\in \mathbb R\cup\{-\infty\}.$$
- Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite de nombres réels sur-additive. Alors la suite $(u_n/n)_{n\geq 1}$ admet une limite et on a $$\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{n}=\sup_{n\geq 1}\frac{u_n}n\in \mathbb R\cup\{+\infty\}.$$
On a des notions similaires en terme de multiplicativité. Précisément, une suite $(u_n)_{n\geq 1}$ de nombres réels est dite sous-multiplicative si, pour tout couple $(n,m)$ d'entiers strictement positifs, $$u_{n+m}\leq u_n\times u_m.$$ Elle est dite sur-multiplicative si, pour tout couple $(n,m)$ d'entiers strictement positifs, $$u_{n+m}\geq u_n\times u_m.$$
- Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite de nombres réels positifs sous-multiplicative. Alors la suite $(u_n^{1/n})_{n\geq 1}$ admet une limite et on a $$\lim_{n\to+\infty}u_n^{1/n}=\inf_{n\geq 1}u_n^{1/n}\in \mathbb R_+.$$
- Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite de nombres réels positifs sur-multiplicative. Alors la suite $(u_n^{1/n})_{n\geq 1}$ admet une limite et on a $$\lim_{n\to+\infty}u_n^{1/n}=\sup_{n\geq 1}u_n^{1/n}\in \mathbb R^*_+\cup\{+\infty\}.$$
On passe du résultat additif au résultat multiplicatif et réciproquement simplement en utilisant les fonctions logarithme et exponentielle.