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Dictionnaire de mathématiques > Géométrie > Courbes et figures remarquables >

Spirale d'Archimède

La spirale d'Archimède est la courbe décrite par un point en déplacement uniforme sur une droite en rotation elle-même uniforme autour d'un point. Son équation polaire est $r=a\theta$.

Cette courbe possède de nombreuses propriétés :

  • Soit $A$ un point de la courbe. Traçons la tangente à la spirale en ce point, ainsi que la perpendiculaire à $(OA)$. Notons $H$ le point d'intersection de ces deux droites. Alors on a $$\frac{OH}{OA^2}=a.$$
  • Si $A$ est le point de la courbe de coordonnée polaire $\theta,$ alors avec les notations précédentes, $$\frac{OH}{OA}=\theta.$$ En particulier, si on choisit $\theta=\pi,$ on peut "construire" un segment de longueur $\pi.$ Mais s'il est facile de construire mécaniquement une spirale d'Archimède en utilisant sa définition, il est moins clair de savoir comment construire sa tangente en un point.
  • La spirale d'Archimède permet de réaliser des trisections, et même des $n$-sections, d'un angle : si $A$ est le point de la spirale de coordonnée polaire $\theta,$ alors le cercle de centre $O$ et de rayon $OM/n$ coupe la spirale en le point de coordonnée polaire $\theta/n.$
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