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Dictionnaire de mathématiques > Géométrie > Géométrie projective >

Sphère de Riemann

La sphère de Riemann désigne le plan complexe usuel, auquel on a ajouté un point supplémentaire, le point à l'infini noté $\infty.$ Ceci permet par exemple de définir sur toute la sphère de Riemann les homographies $z\mapsto (az+b)/(cz+d).$ Il existe plusieurs réalisations concrètes de la sphère de Riemann : compactification d'Alexandrov de $\mathbb C,$ droite projective complexe, projection stéréographique de la sphère de $\mathbb R^3.$

La sphère de Riemann est munie de la topologie suivante. Les voisinages d'un point $x\in\mathbb R^2$ sont les ouverts de $\mathbb R^2$ qui contiennent $x$, auxquels on peut ajouter ou non $\infty.$ Les voisinages de $\infty$ sont les ensembles qui contiennent tous les nombres complexes $z$ tels que $|z|>r$ pour un certain réel $r$, auxquels on ajoute $\infty.$

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