Sphère et Boule

En géométrie dans l'espace, on appelle sphère de centre $A$ et de rayon $R$ (réel strictement positif) l'ensemble des points $M$ de l'espace situés à une même distance $R$ de $A$. Si l'espace est muni d'un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j,\vec k)$, l'équation de la sphère, de centre le point $A$ de coordonnées $(x_0,y_0,z_0)$ et de rayon R est : $$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2=R^2.$$

Le volume de la sphère est alors donné par la formule $V=\frac{4\pi R^3}{3}$, tandis que son aire latérale totale vérifie $A= 4\pi R^2$.

Dans un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$ quelconque, on peut généraliser cette notion de sphère : si $x\in E$ et $r>0$, on appelle sphère de centre $x$ et de rayon $r$ l'ensemble des points $y$ de $E$ dont la distance à $x$ est exactement $r$ : $$S(x,r)=\{y\in E:\ \|y-x\|=r\}.$$ On définir aussi une notion de boule ouverte et de boule fermée :

Dans un espace vectoriel normé, une sphère peut ne pas être ronde, et même être un carré. Par exemple, si on munit $\mathbb R^2$ de ses 3 normes usuelles, $$\|x\|_1=|x_1|+|x_2|,\ \|x\|_2=\sqrt{x_1^2+x_2^2},\ \|x\|_\infty=\max(|x_1|,|x_2|)$$ les sphères et boules unité (de centre $0$ et de rayon $1$) ont les allures respectives suivantes :

Seule la sphère de la distance euclidienne est ronde!

Dans un espace métrique $(E,d)$ quelconque, on peut aussi définir les notions de sphère et de boule : pour $x\in E$ et $r>0,$ on pose respectivement \begin{align*} S(x,r)&=\{y\in E:\ d(x,y)=r\}\\ B(x,r)&=\{y\in E:\ d(x,y)<r\}\\ \bar B(x,r)&=\{y\in E:\ d(x,y)\leq r\}. \end{align*}

Lorsqu'on munit l'espace $E$ de la topologie induite par la distance $d$, une boule ouverte est un ouvert, une boule fermée est un fermé, et la sphère est un fermé.