Sous-norme
Définition : Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et $p:E\to\mathbb R_+$. On dit
que $p$ est une sous-norme si, pour tous $x,y$ de $E$, on a :
- $\forall \lambda\geq 0$, $p(\lambda x)=\lambda p(x)$.
- $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$.
La notion de sous-norme est notamment utile pour la forme générale suivante de la version algébrique du théorème de Hahn-Banach :
Théorème (Hahn-Banach): Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb R$ et $p:E\to\mathbb R_+$
une sous-norme. Soit $G$ un sous-espace vectoriel de $E,$ et $g:G\to\mathbb R$ une forme linéaire sur $G$ vérifiant
$$\forall x\in G,\ g(x)\leq p(x).$$
Alors il existe une forme linéaire $f$ définie sur $E$ telle que $f_{|G}=g$ et telle que
$$\forall x\in E,\ f(x)\leq p(x).$$
Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique