Fonction sous-harmonique
Une fonction $f$ définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^2$ et à valeurs dans $\mathbb R$ est dite sous-harmonique si :
- elle est continue;
- elle vérifie la propriété de la sous-moyenne locale : pour tout $a$ de $U$, il existe $r_0>0$ tel que, pour tout $r\in ]0,r_0[$, on a $$f(a)\leq \int_0^{2\pi}f\left(a+re^{i\theta}\right)\frac{d\theta}{2\pi}.$$
Les fonctions sous-harmoniques vérifient les propriétés importantes suivantes :
- le principe du maximum : si $U$ est un ouvert borné, si $f$ est sous-harmonique dans $U$ et continue sur sa fermeture, alors $$\forall z\in U,\ f(z)\leq \sup_{w\in\partial U}f(w).$$
- la propriété du majorant harmonique : une fonction $f$ définie sur l'ouvert $U$ est sous-harmonique si et seulement si, pour tout compact $K$ inclus dans $U$, pour toute fonction $h:K\to\mathbb R$ continue sur $K$, harmonique dans l'intérieur de $K$ , et telle que $f\leq h$ sur le bord de $K$, alors $f\leq h$ dans $K$ tout entier. Ceci justifie la terminologie "sous-harmonique", et prouve également qu'une fonction sous-harmonique $f$ définie sur $U$ vérifie la propriété de la sous-moyenne globale : pour tout $a$ de $U$ et tout $r>0$ tel que le disque $D(a,r)$ est contenu dans $U$, alors $$f(a)\leq \int_0^{2\pi}f\left(a+re^{i\theta}\right)\frac{d\theta}{2\pi}.$$
De plus, signalons qu'une fonction $f$ de classe $C^2$ dans $U$ est sous-harmonique dans $U$ si et seulement si $\Delta f\geq 0$.
Les fonctions sous-harmoniques sont parfois définies comme étant semi-continues
supérieurement, et non continues.
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