Sous-groupe
Définition :
On dit qu'une partie $H$ d'un groupe $(G,\cdot)$ est un sous-groupe de $G$ si :
Dans la pratique, pour prouver que $H$ est un sous-groupe de $G$, on dispose de la caractérisation suivante :
- $H$ est stable par la loi $\cdot$.
- $(H,\cdot)$ est lui-même un groupe.
Proposition :
Soit un groupe $(G,\cdot)$ et $H$ une partie de $G$. Alors $H$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si :
Il faut faire attention à ce que la définition précédente est donnée pour une loi notée multiplicativement. Pour une loi
notée additivement, on remplacera $xy^{-1}$ par $x-y$.
- $H$ contient l'élément neutre du groupe;
- $\forall x,y\in H$, $xy^{-1}\in H$.
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