Sommes de Riemann
Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$, soit $\sigma=(a=x_0<x_1<\dots<x_n=b)$ une subdivision de $[a,b]$, et soit $\xi_1,\dots,\xi_n$ des réels tels que, pour chaque $i$, $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$. La somme de Riemann de $f$ associée à $\sigma$ et aux $\xi_i$ est définie par $$S(f,\sigma,\xi)=\sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})f(\xi_i).$$ Géométriquement, les sommes de Riemann peuvent être vues comme une valeur approchée de l'intégrale de $f$ par la méthode des rectangles. Le théorème suivant explicite qu'elles approchent effectivement l'intégrale de $f$.
Théorème : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Alors, lorsque le pas de la subdivision tend vers 0,
$S(f,\sigma,\xi)$ tend vers $\int_a^b f(t)dt.$
Précisément, l'écart entre $\int_a^b f(t)dt$ et $S(f,\sigma,\xi)$ peut être majoré par une quantité ne dépendant que du pas de la subdivision,
quantité qui tend vers 0 lorsque le pas tend vers 0.
Le plus souvent, ce théorème est appliquée lorsque la subdivision est régulière, et lorsque les $\xi_i$ sont égaux à $x_i$ ou $x_{i-1}$. On a donc le corollaire suivant :
Corollaire : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Alors,
$$\lim_{n\to+\infty}\frac{b-a}n \sum_{k=1}^n f\left(a+k\frac{b-a}n\right)=\int_a^b f(t)dt.$$
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