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Dictionnaire de mathématiques > Arithmétique > Equations diophantiennes >

Théorème des deux carrés

Théorème : Un entier $n>1$ s'écrit comme la somme de deux carrés de nombres entiers supérieurs ou égaux à $1$ si et seulement si, quand on décompose $n$ en produit de facteurs premiers $n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_r^{\alpha_r}$, alors $\alpha_j$ est pair pour chaque premier $p_j$ congru à $3$ modulo $4$.

Les démonstrations classiques de ce résultat utilisent l'anneau des entiers de Gauss.

Les interrogations pour savoir quand un entier est somme de deux carrés remontent à l'Antiquité. C'est Pierre de Fermat au XVIIè siècle qui énonce le résultat précédent, et il faut attendre Leonhard Euler un siècle plus tard pour en donner la première preuve.
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