Sommation par tranches
La sommation par tranches d'une série $\sum_n u_n$ consiste en le fait d'étudier la série dont le terme général est obtenu en regroupant des termes consécutifs de $(u_n)$. Plus précisément, on appelle sommation par tranche de $\sum_n u_n$ toute série $\sum_n v_n$ où $v_n=\sum_{k=\varphi(n)}^{\varphi(n+1)-1}u_k$ et $\varphi:\mathbb N\to \mathbb N$ est une fonction strictement croissante vérifiant $\varphi(0)=0$.
Théorème : Sous les hypothèses précédentes :
si $\sum_n u_n$ converge, alors $\sum_n v_n$ converge et on a l'égalité
$$\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=\sum_{n=0}^{+\infty}v_n.$$
si $u_n\geq 0$ pour tout $n\in\mathbb N$, alors les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ sont de même nature.
si les tranches sont bornées, ie s'il existe $C>0$ tel que $\varphi(n+1)-\varphi(n)\leq C$ pour tout entier $n$,
alors les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ sont de même nature.
Recherche alphabétique
Recherche thématique