$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Sommation par tranches

La sommation par tranches d'une série $\sum_n u_n$ consiste en le fait d'étudier la série dont le terme général est obtenu en regroupant des termes consécutifs de $(u_n)$. Plus précisément, on appelle sommation par tranche de $\sum_n u_n$ toute série $\sum_n v_n$ où $v_n=\sum_{k=\varphi(n)}^{\varphi(n+1)-1}u_k$ et $\varphi:\mathbb N\to \mathbb N$ est une fonction strictement croissante vérifiant $\varphi(0)=0$.

Théorème : Sous les hypothèses précédentes :
  • si $\sum_n u_n$ converge, alors $\sum_n v_n$ converge et on a l'égalité $$\sum_{n=0}^{+\infty}u_n=\sum_{n=0}^{+\infty}v_n.$$
  • si $u_n\geq 0$ pour tout $n\in\mathbb N$, alors les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ sont de même nature.
  • si les tranches sont bornées, ie s'il existe $C>0$ tel que $\varphi(n+1)-\varphi(n)\leq C$ pour tout entier $n$, alors les séries $\sum_n u_n$ et $\sum_n v_n$ sont de même nature.
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