Théorème de sommation par paquets

Théorème (sommation par paquets): Soit $(I_n)_{n\in\mathbb N}$ une partition de $I$ et soit $(u_i)_{i\in I}$ une famille de réels positifs. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :

1. la famille $(u_i)$ est sommable;
2. pour tout entier $n\in\mathbb N$, la famille $(u_i)_{i\in I_n}$ est sommable et la série $\sum_n \left(\sum_{i\in I_n}u_i\right)$ converge.

Dans ce cas, on a $$\sum_{i\in I}u_i=\sum_n \left(\sum_{i\in I_n}u_i\right).$$