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Bibm@th
Dictionnaire de mathématiques > Probabilité et statistiques > Probabilités > Modes de convergence et théorèmes limites >

Théorème de Slutsky

Théorème : Soit $(X_n)$ et $(Y_n)$ deux suites de variables aléatoires définies sur le même espace de probabilité $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P).$ Soit $X$ une variable aléatoire et $c\in\mathbb R.$ On suppose que $(X_n)$ converge en loi vers $X$ et que $(Y_n)$ converge en probabilité vers $c.$ Alors $(X_n,Y_n)$ converge en loi vers $(X,c).$

En particulier, $X_n+Y_n$ converge en loi vers $X+c$ et $X_nY_n$ converge en loi vers $cX.$

Dans le théorème précédent, il est important que $(Y_n)$ converge en probabilité vers une constante. Le résultat deviendrait faux si on s'autorisait la convergence en probabilité vers une variable aléatoire $Y$ quelconque. Remarquons que le théorème reste vrai si on remplace toutes les convergences en loi par des convergences en probabilité.

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