Sinus cardinal
La fonction sinus cardinal est la fonction a priori définie sur $\mathbb R\backslash\{0\}$ par $$\mathrm{sinc}(x)=\frac{\sin x}x.$$ On connait également la limite classique $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1$$ et on prolonge donc la fonction sinus cardinal par continuité en $0$ par la formule $\mathrm{sinc}(0)=1$.
La courbe représentative de la fonction sinus cardinal a la forme suivante :
Par ailleurs, la fonction sinus cardinal possède les propriétés suivantes :
- elle est paire, continue, dérivable et même de classe $\mathcal C^\infty$ sur $\mathbb R$ et vérifie $$\lim_{x\to+\infty}\mathrm{sinc}(x)=\lim_{x\to-\infty}\mathrm{sinc}(x)=0.$$
- la fonction sinus cardinal est développable en série entière en $0$, et on a pour tout $x\in\mathbb R$, $$\frac{\sin x}x=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n+1)!}.$$
- La fonction sinus cardinal n'est pas intégrable sur $\mathbb R_+$ (c'est-à-dire que $\int_0^{+\infty}\frac{|\sin t|}{t}dt=+\infty$). En revanche, l'intégrable impropre $\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt$ converge et on a $$\int_0^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi}2.$$ Le membre de gauche de cette égalité est appelée intégrale de Dirichlet.
- La fonction sinus cardinal intervient également dans la transformée de Fourier. La fonction sinus cardinal est en effet la transformée de Fourier de $\mathbf 1_{[-1/2,1/2]}$, l'indicatrice de $[-1/2,1/2]$.
Pourquoi ce nom de sinus cardinal? On dit parfois que la raison est la ressemblance
entre la courbe de la fonction sinus cardinal sur $[-\pi,\pi]$ et le chapeau d'un cardinal.
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