Méthode de Simpson
La méthode de Simpson est une méthode de calcul approché d'intégrale. Elle consiste en l'approximation suivante :
$$\int_a^b f(t)dt\simeq \frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f\left(\frac{a+b}2\right)+f(b)\right).$$Cette formule est exacte pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal à 3 : on dit que la méthode de Simpson est d'ordre 3.
En général, pour appliquer cette méthode d'intégration, on découpe l'intervalle $[a,b]$ en $n$ intervalles de longueur $(b-a)/n$, et on applique la formule précédente sur chacun des sous-intervalles. On a alors, en posant $h=\frac{b-a}n$ :
$$\int_a^b f(t)dt\simeq \frac{h}{6}\sum_{k=0}^{n-1}\left(f\left(a+kh\right)+4f\left(a+(k+1/2)h\right)+f(a+(k+1)h)\right).$$Lorsque $f$ est de classe $C^4$, on peut estimer l'erreur commise. En notant $M_4=\sup_{[a,b]}|f|$, on a
$$\left|\int_a^b f(t)dt-\frac{h}{6}\sum_{k=0}^{n-1}\left(f\left(a+kh\right)+4f(a+(k+1/2)h)+f(a+(k+1)h)\right)\right|\leq \frac{(b-a)^5 M_4}{180n^4}.$$
Comme souvent, la méthode de Simpson n'est pas due à Simpson!
Si elle apparait dans ses travaux, elle est en réalité due à Newton, comme Simpson lui-même le reconnait. Par un curieux effet de balancier,
la méthode de Newton-Raphson pour résoudre une équation $f(x)=0$ est due à Simpson!
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