Signature d'une permutation
Définition :
Soit $\sigma$ un élément de $S_n$, le groupe des permutations de $\{1,\dots,n\}$. On appelle
signature de $\sigma$ le réel
$$\veps(\sigma)=\prod_{1\leq i<j\leq n}\frac{\sigma(j)-\sigma(i)}{j-i}.$$
La signature d'une permutation compte le nombre d'échanges effectuées par la permutation : si le nombre d'échanges est pair, la signature est égale à $1$, si le nombre d'échanges est impair, la signature est égale à $-1$. Par exemple, la signature d'une transposition vaut $-1$. Plus généralement, si $\sigma$ est un cycle de longueur $k$, la signature de $\sigma$ vaut $(-1)^{k-1}$.
Théorème :
La signature $\veps$ est un morphisme de groupes de $(S_n,\circ)$ dans $(\mathbb C^*,\times)$. C'est le seul morphisme non identiquement égal à $1$.
On peut donc calculer la signature d'une permutation en utilisant une décomposition en produit de transpositions ou en produit de cycles à supports disjoints.
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