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Nombres de Sierpiński

L'étude des nombres premiers (les entiers qui ne sont divisible que par 1 et eux-mêmes) conduit souvent à des résultats étonnants. En témoigne ce théorème du mathématicien polonais Waclaw Sierpiński :

Il existe une infinité d'entiers impairs $k$ pour lesquel $k\cdot 2^n+1$ n'est jamais premier, quel que soit l'entier $n$ supérieur ou égal à $1$.

En 1962, John Selfridge a découvert que k=78557 était un nombre de Sierpiński : c'est le plus petit connu à ce jour, et on conjecture qu'effectivement, c'est le plus petit. Pour montrer cela, il suffit, pour chaque entier k inférieur à 78557, de trouver $n$ tel que $k2^n+1$ est premier. Après divers travaux, il ne restait plus début 2002 que 17 entiers à tester : 4847, 5359, 10223, 19249, 21181, 22699, 24737, 27653, 28433, 33661, 44131, 46157, 54767, 55459, 65567, 67607 et 69109.

En mars 2002, L.Helm, de l'Université du Michigan, et D.Norris, de l'Université de l'Illinois, ont décider de lancer une gigantesque simulation informatique pour tester chacun de ces 17 entiers. La puissance requise est phénoménale. Comme souvent dans des projets d'une telle envergure (comme le projet SETI d'écoute des émissions extra-terrestres, ou les projets de cassage de clés en cryptographie), ils ont choisi de faire appel à la puissance de miliers d'ordinateurs individuels disséminés à travers le monde.

Sur les ordinateurs de chaque participant, un petit logiciel est installé, qui profite du temps machine non utilisé pour effectuer une petite part des calculs du projet. Et cela marche! Sur les 17 nombres, 11 ont été identifiés comme n'étant pas des nombres de Sierpiński. Par exemple, ce 22 décembre 2002, l'ordinateur de Peter Coels en Belgique a prouvé que $54767\cdot 2^n+1$ est premier, avec $n=1337827$. Cela prouve que 54767 n'est pas un nombre de Sierpiński, et en plus, Peter Coels avait découvert le 7ème plus grand nombre premier jamais identifié à ce jour.

Le projet de Helm et Norris dut s'interrompre en 2016 par suite d'une panne de serveurs, et fut repris sur http://www.primegrid.com, projet de calcul distribué pour la recherche de nombres premiers. Un douzième cas fut résolu grâce à ce projet. A ce jour, il reste 5 nombres à tester : 21181, 22699, 24737, 55 459 et 67607.

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