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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Algèbre linéaire > Réduction des endomorphismes >

Sous-espace propre, caractéristique

Sous-espace propre

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel, $u$ un endomorphisme de $E$ et $\lambda\in\mathbb K$ une valeur propre de $u$. On appelle sous-espace propre associé à $\lambda$ le sous-espace $$E_\lambda=\{x\in E:\ u(x)=\lambda x\}=\ker(u-\lambda Id_E).$$ On définit de même un sous-espace propre d'une matrice.

L'intérêt des sous-espaces propres est le suivant : l'endomorphisme $u$ s'y comporte d'une manière très simple, puisqu'il y agit comme une homothétie. On peut ensuite regrouper les comportements sur des sous-espaces propres distincts grâce au théorème suivant :

Théorème : Soit $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ des valeurs propres distinctes deux à deux de $u$. Alors les sous-espaces propres $E_{\lambda_1},\dots,E_{\lambda_p}$ sont en somme directe.
Sous-espace caractéristique (spectral)

Même lorsque le polynôme caractéristique de $u$ est scindé, le théorème précédent est parfois insuffisant pour obtenir le comportement de $u$ sur tout l'espace : la somme directe des sous-espaces propres peut parfois être un sous-espace vectoriel strict de $E$. On introduit alors la notion de sous-espace caractéristique :

Définition : Soit $u$ un endomorphisme de $E$ dont le polynôme caractéristique est scindé : $$\chi_u(X)=(X-\lambda_1)^{n_1}\cdots (X-\lambda_p)^{n_p}.$$ Pour tout $i=1,\dots,p$, le sous-espace vectoriel $$N_i=\ker(u-\lambda_i Id_E)^{n_i}$$ s'appelle le sous-espace caractéristique de $u$ associé à la valeur propre $\lambda_i$.

Les sous-espaces caractéristiques vérifient les propriétés suivantes :

  • Pour tout $i=1,\dots,p$, ils sont stables par $u$.
  • Ils réalisent une décomposition en somme directe de $E$, appelée décomposition spectrale : $$E=N_1\oplus\cdots\oplus N_p.$$ Les projecteurs associés s'appellent projecteurs spectraux.
  • Pour tout $i=1,\dots,p$, on a $\dim(N_i)=n_i$.

L'étude précise du comportement de $u$ sur chaque $N_i$ est à la base des réductions de Dunford et de Jordan.

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