Série de Taylor

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\mathbb R$, $x_0$ un point de cet intervalle, et on suppose que $f$ est indéfiniment dérivable en $x_0$. La série de Taylor de $f$ en $x_0$ est la série de fonctions $$\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n.$$ Lorsque le point $x_0$ est l'origine, on parle parfois de série de MacLaurin plutôt que de série de Taylor.

Une question que l'on se pose souvent est de savoir s'il existe un petit intervalle centré autour de $x_0$ sur lequel la fonction coïncide avec sa série de Taylor. La fonction est alors dite analytique en $x_0$. Lorsque la fonction est définie sur un ouvert du plan complexe, la fonction est analytique si l'égalité précédente a lieu pour tous les $x$ dans un disque autour de $x_0$.

Les termes de série de Taylor et séries de MacLaurin ne sont probablement pas très bien appropriés. Si Taylor en 1715 écrivit bien une fonction comme somme d'une série (sa série de Taylor), ceci apparait déjà dans des travaux de Gregory alors que Taylor n'était qu'enfant. Quant à MacLaurin, s'il fit beaucoup pour populariser ce type d'écriture, il n'a jamais revendiqué en être l'inventeur! C'est probablement Lhuillier, en 1786, qui utilisa le premier le terme "série de Taylor". Signalons toutefois que la terminologie mathématique a ses oubliés, mais dans l'ensemble fait bien les choses! Ainsi, MacLaurin est l'auteur original de la méthode de résolution de systèmes linéaires connue sous le nom de méthode de Cramer!