Divergence de la série des inverses des nombres premiers

L' objectif de ce petit article est de prouver que la série des inverses des nombres premiers diverge. On note $p_n$ le $n$-ième nombre premier. Ainsi, $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$,... Nous raisonnons par l'absurde et supposons que cette série converge. En particulier, il existe un entier $k$ tel que : $$\sum_{n=k+1}^{+\infty}\frac 1{p_n}\leq 2.$$ Soit $N$ un entier quelconque. On partage $\{1,...,N\}$ en deux ensembles disjoints, dont la réunion est $\{1,...,N\}$ :

Majorons le cardinal de $A_N$. Le nombre d'entiers de $\{1,...,N\}$ qui sont divisibles par un nombre premier $p$ est inférieur ou égal à $N/p$. Ainsi : $$\textrm{card}(A_N)\leq\frac{N}{p_{k+1}}+\frac N{p_{k+2}}+\cdots\leq \frac N2.$$ Donc, le cardinal de $B_N$, qui vaut $N-\textrm{card}(A_N),$ est supérieur ou égal à $N/2$.

Maintenant, si $n$ est dans $B_N$, $n$ s'écrit $n=m^2 q$, où $q$ est sans facteurs carrés. On a $m\leq \sqrt n\leq\sqrt N$, et donc il y a au plus $\sqrt N$ choix pour $m$. Maintenant, la décomposition en facteurs premiers de $q$ ne comporte que les premiers $p_1,\dots,p_k$, avec des exposants égaux à 0 ou 1. Il y a donc au plus $2^k$ tels facteurs $q$, et on a prouvé que : $$\frac N2\leq\textrm{card}(B_N)\leq \sqrt N 2^k.$$ En particulier, pour tout entier $N,$ on devrait avoir $$\frac N2\leq 2^k \sqrt N.$$ Cette inégalité ne peut pas être vérifiée si $N$ est assez grand.