Divergence de la série des inverses des nombres premiers

L' objectif de ce petit article est de prouver que la série des inverses des nombres premiers diverge. On note $p_n$ le $n$-ième nombre premier. Ainsi, $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$,... Nous raisonnons par l'absurde et supposons que cette série converge. En particulier, il existe un entier k tel que :

Soit $N$ un entier quelconque. On partage $\{1,...,N\}$ en deux ensembles disjoints, dont la réunion est $\{1,...,N\}$ tout entier :

Estimons le cardinal de $A$. Le nombre d'entiers de $\{1,...,N\}$ qui sont divisibles par un premier $p$ est inférieur ou égal à $N/p$. Ainsi : $$\textrm{card}(A)\leq\frac{N}{p_{k+1}}+\frac N{p_{k+2}}+\cdots\leq \frac N2.$$ Donc, le cardinal de $B$ est supérieur ou égal à $N/2$.

Maintenant, si $n$ est dans $B$, $n$ s'écrit $n=m^2 q$, où $q$ est sans facteurs carrés. On a $m\leq \sqrt n\leq\sqrt N$, et donc il y a au plus $\sqrt N$ choix pour $m$. Maintenant, la décomposition en facteurs premiers de $q$ ne comporte que les premiers $p_1,\dots,p_k$, avec des exposants égaux à 0 ou 1. Il y a donc au plus $2^k$ tels facteurs $q$, et on a prouvé que : e$$\frac N2\leq\textrm{card}(B)\leq \sqrt N 2^k.$$ Cette inégalité ne peut pas être vérifiée si $N$ est assez grand.