Série géométrique
Soit $z$ un nombre complexe. On appelle série géométrique de raison $z$ la série de terme général $z^n$. Ses sommes partielles sont données par : $$S_n=1+z+\cdots+z^n=\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle \frac{1-z^{n+1}}{1-z}&\textrm{si }z\neq 1\\ \displaystyle n+1&\textrm{si }z= 1\\ \end{array}\right.$$ On obtient donc facilement que :
- si $|z|<1$, la série converge, de somme $\frac 1{1-z}$;
- si $|z|\geq 1$, la série est (grossièrement) divergente, c'est-à-dire que son terme général ne tend pas vers 0.
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